Transformada de Laplace

Em matemática, particularmente na análise funcional, a transformada de Laplace é um método operacional de resolução de problemas de valor inicial que permite levar a resolução de equações diferenciais à resolução de equações polinomiais, que são muito mais simples de resolver. A transformada de Laplace de uma função f(t), cuja integral existe, definida para todo número real t ≥ 0 é a função F(s), definida por:

Pierre-Simon Laplace.
F(s)={\mathcal {L}}\{f\}(s)=\int _{0}^{\infty }e^{{-st}}f(t)\,dt.

As propriedades desta transformada tornam-na útil para a análise de sistemas dinâmicos lineares. A vantagem mais interessante desta transformada integral é que a integração e a derivação tornam-se multiplicações e divisões, da mesma maneira que o logaritmo transforma a multiplicação em adição. Este método, que leva o nome do matemático francês Pierre Simon Laplace, foi desenvolvido pelo físico inglês Oliver Heaviside, nascido um século depois de Laplace.

Heaviside, autor dos renomados Electrical Papers, foi um pesquisador do campo da Engenharia elétrica, responsável por desenvolver uma técnica conhecida como Cálculo Operacional capaz de estudar as correntes transientes em circuitos elétricos.

Por conveniência de notação, usada principalmente por engenheiros e físicos, a função pode ser expressa da seguinte forma:

{\displaystyle F(s)={\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}=\int _{0^{-}}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt.}

 

Sendo f(t) a função original e “L” é o operador Transformada de Laplace. É comum den

Transformada de Laplace.

otar-se as funções originais com letras minúsculas (f(t),g(t),…) e suas respectivas funções transformadas com letras maiúsculas (F(s),G(s),…).

Quando se fala de transformada de Laplace, refere-se geralmente à versão unilateral. Existe também a transformada de Laplace bilateral, que se define como segue:

Quando se fala de transformada de Laplace, refere-se geralmente à versão unilateral. Existe também a transformada de Laplace bilateral, que se define como segue:

{\displaystyle F_{B}(s)={\mathcal {L}}\left\{f(s)\right\}=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt.}

A transformada de Laplace F(s) existe tipicamente para todos os números re

ais s > a, onde a é uma constante que depende do comportamento de crescimento de f(t).

A transformada de Laplace é extensamente utilizada em Engenharia elétrica e Engenharia química.

Fonte: Wikipédia

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