Arquimedes foi, sem dúvida, um dos maiores cientistas do mundo – certamente o maior cientista da era clássica.

Ele era matemático, físico, astrônomo, engenheiro, inventor e designer de armas. Como veremos, ele era um homem que estava ao seu tempo e muito à frente do seu tempo.

Arquimedes nasceu na cidade-estado grega de Siracusa, na ilha da Sicília, em aproximadamente 287 aC. Seu pai, Phidias, era um astrônomo. Arquimedes também pode ter sido relacionado a Hiero II, rei de Siracusa.

As Maiores Realizações de Arquimedes

No século III AC, Arquimedes:

• inventou as ciências da mecânica e hidrostática.

• descobriu as leis de alavancas e polias, que nos permitem mover objetos pesados ​​usando pequenas forças.

Inventou um dos conceitos mais fundamentais da física – o centro de gravidade.

• calculou pi com o valor mais preciso conhecido. Seu limite superior para pi era a fração ²² ⁄ ₇ . Esse valor ainda era usado no final do século 20, até que as calculadoras eletrônicas finalmente o colocaram em repouso.

• descobriu e provou matematicamente as fórmulas para o volume e a área de superfície de uma esfera.

• mostrou como os expoentes poderiam ser usados ​​para escrever números maiores do que se pensava antes.

• provou que, para multiplicar números escritos como expoentes, os expoentes devem ser somados.

• matemáticos enfurecidos que tentaram replicar suas descobertas 18 séculos depois – eles não conseguiam entender como Arquimedes alcançara seus resultados.

• inspirou Galileu Galilei e Isaac Newton diretamente a investigar a matemática do movimento. Os trabalhos sobreviventes de Arquimedes (tragicamente, muitos foram perdidos) finalmente foram impressos em 1544. Leonardo da Vinci teve a sorte de ver algumas das obras copiadas à mão de Arquimedes antes de finalmente serem impressas.

• foi um dos primeiros físicos matemáticos do mundo, aplicando sua matemática avançada ao mundo físico.

• foi a primeira pessoa a aplicar lições da física – como a lei da alavanca – para resolver problemas em matemática pura.

• inventou máquinas de guerra como uma catapulta altamente precisa que impediu os romanos de conquistar Siracusa por anos. Ele pode ter feito isso entendendo a matemática da trajetória do projétil.

• tornou-se famoso em todo o mundo antigo por sua mente brilhante – tão famoso que não podemos ter certeza de que tudo o que ele diz ter feito é verdadeiro. Um exemplo disso, o parafuso arquimediano ou cóclias é discutido abaixo.

• inspirou o que agora acreditamos ser mitos, incluindo um sistema de espelhos para queimar navios atacantes usando os raios do sol, pular de seu banho e depois correr nu pelas ruas de Siracusa, gritando ‘Eureka’ que significa ‘eu encontrei’ depois de perceber como ele poderia provar se a coroa de ouro do rei tinha prata.

Biografia

Arquimedes nasceu por volta de 287 a.C. na cidade portuária de Siracusa, na Sicília, naquele tempo uma colônia autogovernante na Magna Grécia. A data de nascimento é baseada numa afirmação do historiador grego bizantino João Tzetzes, de que Arquimedes viveu 75 anos.

Em sua obra O Contador de Areia, Arquimedes conta que seu pai se chamava Fídias, um astrônomo sobre quem nada se sabe atualmente. Plutarco escreveu em Vidas Paralelas que Arquimedes era parente do Rei Hierão II, o governante de Siracusa.

Uma biografia de Arquimedes foi escrita por seu amigo Heráclides, mas esse trabalho foi perdido, deixando os detalhes de sua vida obscuros. É desconhecido, por exemplo, se ele se casou ou teve filhos. Durante sua juventude, Arquimedes talvez tenha estudado em Alexandria, Egito, onde Conon de Samos e Eratóstenes de Cirene foram contemporâneos. Ele se referiu a Conon de Samos como seu amigo, enquanto dois de seus trabalhos (O Método dos Teoremas Mecânicos e o O Problema Bovino) têm introduções destinadas a Eratóstenes.

Arquimedes morreu em circa. 212 a.C. durante a Segunda Guerra Púnica, quando forças romanas sob o comando do general Marco Cláudio Marcelo capturaram a cidade de Siracusa após um cerco de dois anos.

Existem diversas versões sobre sua morte. De acordo com o relato dado por Plutarco, Arquimedes estava contemplando um diagrama matemático quando a cidade foi capturada. Um soldado romano ordenou que ele fosse conhecer Marcelo, mas ele se recusou, dizendo que ele tinha que terminar de trabalhar no problema. O soldado ficou furioso com isso, e matou Arquimedes com sua espada.

Plutarco também oferece um relato menos conhecido da morte de Arquimedes, que sugere que ele pode ter sido morto enquanto tentava se render a um soldado romano.De acordo com essa história, Arquimedes estava carregando instrumentos matemáticos, e foi morto porque o soldado pensou que fossem itens valiosos. Marcelo teria ficado irritado com a morte de Arquimedes, visto que o considerava uma posse científica valiosa, e tinha ordenado que ele não fosse ferido.

As últimas palavras atribuídas a Arquimedes são “Não perturbe meus círculos” (em grego: μή μου τούς κύκλους τάραττε), uma referência aos círculos no desenho matemático que ele estaria estudando quando perturbado pelo soldado romano. Esta citação é muitas vezes dada em Latim como “Noli turbare circulos meos,” mas não há nenhuma evidência confiável de que Arquimedes pronunciou estas palavras e elas não aparecem no relato dado por Plutarco.

O túmulo de Arquimedes continha uma escultura ilustrando sua demonstração matemática favorita, consistindo de uma esfera e um cilindro de mesma altura e diâmetro. Arquimedes tinha provado que o volume e a área da superfície da esfera são dois terços da do cilindro incluindo suas bases.

Em 75 a.C, 137 anos após a morte de Arquimedes, o orador romano Cícero estava trabalhando como questor na Sicília. Ele tinha ouvido histórias sobre o túmulo de Arquimedes, mas nenhum dos moradores foi capaz de lhe dar a localização. Após algum tempo, ele encontrou o túmulo próximo ao Portão de Agrigentino em Siracusa, em condição negligenciada e coberto de arbustos. Cícero limpou o túmulo, e foi capaz de ver a escultura e ler alguns dos versos que haviam sido adicionados como inscrição.

As versões conhecidas a respeito da vida de Arquimedes foram escritas muito tempo depois de sua morte pelos historiadores da Roma Antiga. O relato do cerco a Siracusa dado por Políbio em seu História Universal foi escrito por volta de setenta anos depois da morte de Arquimedes, e foi utilizado posteriormente como fonte por Plutarco e Lívio. Ele esclarece pouco sobre Arquimedes como uma pessoa, e centra-se nas máquinas de guerra que ele supostamente construiu a fim de defender a cidade.

Descobertas e invenções

A coroa de ouro

A curiosidade mais conhecida sobre Arquimedes conta sobre como ele inventou um método para determinar o volume de um objeto de forma irregular. De acordo com Vitrúvio, uma coroa votiva para um templo tinha sido feita para o Rei Hierão II, que tinha fornecido ouro puro para ser usado, e Arquimedes foi solicitado a determinar se alguma prata tinha sido usada na confecção da coroa pelo possivelmente desonesto ferreiro.

Arquimedes tinha que resolver o problema sem danificar a coroa, de forma que ele não poderia derretê-la em um corpo de formato regular, a fim de encontrar seu volume para calcular a sua densidade. Enquanto tomava um banho, ele percebeu que o nível da água na banheira subia enquanto ele entrava, e percebeu que esse efeito poderia ser usado para determinar o volume da coroa.

Para efeitos práticos, a água é incompressível, assim a coroa submersa deslocaria uma quantidade de água igual ao seu próprio volume. Dividindo a massa da coroa pelo volume de água deslocada, a densidade da coroa podia ser obtida. Essa densidade seria menor do que a do ouro se metais mais baratos e menos densos tivessem sido adicionados. Arquimedes teria ficado tão animado com sua descoberta que teria esquecido de se vestir e saído gritando pelas ruas “Eureka!” (em grego: “εὕρηκα!,” significando “Encontrei!”). O teste foi realizado com sucesso, provando que prata realmente tinha sido misturada.

A história da coroa de ouro não aparece nas obras conhecidas de Arquimedes, sendo possível que a historia tenha sido embelezada e confundida com a história verdadeira da construção do navio Syracusia desenhado por Arquimedes e construído em torno de 240 A.C. por Archias de Corinto nas ordens de Hierão II de Siracusa. A palavra grega para coroa (em grego: στέμμα), especificamente a coroa do navio, teria sido, então, confundida com a palavra latina para coroa (em latim: coronam), a de usar na cabeça.

Além disso, a praticabilidade do método descrito tem sido posta em dúvida, devido à extrema precisão com que se teria que medir o deslocamento de água. Arquimedes pode ter buscado uma solução que aplicasse o princípio conhecido em hidrostática como princípio de Arquimedes, que ele descreveu em seu tratado Sobre os Corpos Flutuantes.

Esse princípio afirma que um corpo imerso em um fluido sofre uma força de empuxo igual ao peso do fluido que ele desloca. Usando esse princípio, teria sido possível comparar a densidade da coroa de ouro à de ouro maciço equilibrando-se a coroa em uma balança de braços iguais com uma amostra de ouro, e então imergindo-se o aparato na água. Se a coroa fosse menos densa que ouro, ela deslocaria mais água, devido ao seu maior volume, e assim experimentaria uma força de empuxo maior do que a amostra de ouro. Essa diferença de empuxo causaria a balança a inclinar-se de acordo.

Galileu considerou “provável que esse método é o mesmo que Arquimedes seguiu, uma vez que, além de ser bastante acurado, é baseado em demonstrações encontradas pelo próprio Arquimedes.”Num texto do século XII intitulado Mappae clavicula, há instruções detalhadas sobre como realizar as pesagens dentro da água com o fim de calcular a porcentagem de prata utilizada, e assim resolver o problema. Além disso, o poema latino Carmen de ponderibus et mensuris do século IV ou V d.C. descreve a utilização de uma balança hidrostática para solucionar o problema da coroa, e atribui esse método a Arquimedes.

O Siracusia e o parafuso de Arquimedes

Grande parte do trabalho de Arquimedes em engenharia surgiu para satisfazer as necessidades de sua cidade natal, Siracusa. O escritor grego Ateneu de Náucratis descreveu como o Rei Hierão II encarregou Arquimedes de projetar um grande barco, o Siracusia, que poderia ser utilizado para viagens de luxo, transporte de suprimentos, e como um navio de guerra.

É dito que o Siracusia foi o maior barco construído na Antiguidade Clássica. De acordo com Ateneu, ele era capaz de carregar 600 pessoas e nele havia jardins decorativos, um gymnasion e um templo dedicado à deusa Afrodite, dentre outras instalações. Uma vez que um navio desse tamanho deixaria passar uma quantidade considerável de água através do casco, o parafuso de Arquimedes foi supostamente inventado para remover água da sentina.

A máquina de Arquimedes consistia em um parafuso giratório dentro de um cilindro. Era girada a mão, e também podia ser usada para transportar água de um corpo de água baixo até canais de irrigação. O parafuso de Arquimedes é ainda usado hoje para bombear líquidos e sólidos granulados como carvão e cereais. O parafuso de Arquimedes tal como descrito por Vitrúvio nos tempos romanos pode ter sido uma melhoria em uma bomba de parafuso que foi usada para irrigar os Jardins Suspensos da Babilônia.

A garra de Arquimedes

A garra de Arquimedes é uma arma supostamente projetada por Arquimedes a fim de defender a cidade de Siracusa. Também conhecida como “sacudidora de navios”, a garra consistia em um braço de guindaste a partir do qual prendia um grande gancho de metal. Quando a garra caia sobre um navio inimigo, o braço era usado para balançar e levantar o navio para fora da água.

Experimentos modernos foram realizados para testar a viabilidade da garra, e em 2005 um documentário de televisão intitulado Super-armas do Mundo Antigo (Superweapons of the Ancient World) construiu uma versão da garra e concluiu que era um dispositivo viável.

O raio de calor de Arquimedes

Luciano de Samósata, escritor do século II, escreveu que durante o Cerco a Siracusa (c. 214–212 a.C.), Arquimedes destruiu navios inimigos com fogo. Séculos depois, Antêmio de Trales menciona espelhos ustórios como a arma utilizada por Arquimedes. O dispositivo, algumas vezes chamado de “raio de calor de Arquimedes” ou “raio solar de Arquimedes”, teria sido usado para concentrar a luz solar em navios que se aproximavam, levando-os a pegar fogo.

A credibilidade desta história tem sido objeto de debate desde o Renascimento. René Descartes a considerou falsa, enquanto pesquisadores modernos tentaram recriar o efeito usando apenas os meios que estavam disponíveis a Arquimedes. Foi sugerido que uma grande quantidade de escudos bem polidos de bronze ou cobre atuando como espelhos poderiam ter sido utilizados para concentrar a luz solar em um navio. Poderia ter-se usado o princípio do refletor parabólico de maneira similar a um forno solar de alta temperatura.

Um teste do raio de calor de Arquimedes foi realizado em 1973 pelo cientista grego Ioannis Sakkas. O experimento foi realizado na base naval de Skaramangas nos arredores de Atenas. Nesta ocasião 70 espelhos foram usados, cada um com um revestimento de cobre e com um tamanho de aproximadamente 5 por 3 pés (1,5 por 1 m). Os espelhos foram apontados a uma réplica de um navio romano, feita de madeira compensada, a uma distância de aproximadamente 160 pés (50 metros). Quando os espelhos foram enfocados com precisão, o navio irrompeu em chamas em questão de poucos segundos. O navio de madeira compensada era revestido por tinta de betume, o que pode ter facilitado a combustão.

Em outubro de 2005, um grupo de estudantes do MIT conduziu um experimento com 127 espelhos quadrados com lado de 1 pé (30 cm), focados em uma maquete de navio de madeira a uma distância de cerca de 100 pés (30 m). Chamas surgiram em uma parte do navio, mas só depois de o céu estar sem nuvens e o navio ter permanecido estacionário por cerca de dez minutos. Concluiu-se que o dispositivo era uma arma viável nessas condições.

O grupo do MIT repetiu a experiência para o programa de televisão MythBusters, utilizando um barco pesqueiro de madeira em São Francisco como o alvo. Novamente alguma carbonização ocorreu, juntamente com uma pequena quantidade de chamas. Para pegar fogo, a madeira precisa atingir a sua temperatura de autoignição, que é de cerca de 300 °C (570 °F).

Quando o MythBusters transmitiu o resultado do experimento de São Francisco, em janeiro de 2006, a afirmação foi categorizada como mentira (“mito detonado”) devido à duração de tempo e as condições climáticas ideais necessárias para a combustão ocorrer. Também foi salientado que como Siracusa vê o mar a leste, a frota romana teria de ter atacado durante a manhã para um ótimo acúmulo de luz usando-se os espelhos. O MythBusters também salientou que armamento convencional, como flechas em chamas ou ainda catapultas, seria uma maneira muito mais fácil de incendiar um navio a curta distância.

Em dezembro de 2010, o MythBusters olhou novamente para a história do raio de calor em uma edição especial com Barack Obama em destaque, intitulada President’s Challenge (O Desafio do Presidente). Vários experimentos foram realizados, incluindo um teste em larga escala com 500 crianças de escola mirando espelhos em uma maquete de um barco romano a 400 pés (120 m) de distância. Em todos os experimentos, a vela não alcançou os 210 °C (410 °F) necessários para que pegasse fogo, e o veredito foi novamente o de “detonado”. O programa concluiu que um efeito mais provável dos espelhos teria sido cegar, ofuscar, ou distrair a tripulação do navio.

Cálculo de Pi

π é o número obtido quando você divide a circunferência de qualquer círculo pelo seu diâmetro. Para calcular a área ou circunferência de um círculo, você precisa saber π.

Arquimedes estava intensamente interessado em calcular as propriedades matemáticas de sólidos curvos, como cilindros, esferas e cones. Para fazer isso, ele queria aprender mais sobre π. Agora sabemos que π é um número irracional: 3,14159265358979… os números após o ponto decimal não seguem padrão e nunca terminam; portanto, um valor exato nunca pode ser encontrado.

Arquimedes sabia que a circunferência de um círculo é igual a 2 × π × r, onde r é o raio do círculo. Aqui está como Arquimedes calculou a circunferência de um círculo de raio conhecido e, portanto, encontrou π. Seu método é chamado de método da exaustão , desenvolvido rigorosamente cerca de um século antes por um dos heróis de Arquimedes, Eudoxus de Cnido .

Arquimedes imaginou um círculo e, em sua mente, desenhou um triângulo equilátero dentro dele, com cada ponto do triângulo tocando o círculo. Fora do círculo, ele desenhou outro triângulo equilátero, com cada lado tocando o círculo.

Ele podia calcular facilmente o perímetro de cada triângulo e, portanto, sabia que a circunferência do círculo era maior que o triângulo interno e menor que o triângulo externo.

Então, usando uma fórmula que ele havia inventado para calcular o perímetro de um polígono com o dobro do número de lados do polígono anterior, ele repetiu seu cálculo, desta vez para um círculo com um hexágono regular dentro dele e um hexágono regular fora dele. Os hexágonos envolviam o círculo mais de perto que os triângulos e seus perímetros estavam mais próximos da verdadeira circunferência do círculo.

Dessa maneira, Arquimedes aumentou os limites para a circunferência máxima e mínima do círculo.

Em seguida, ele imaginou um círculo entre dois polígonos regulares de 12 lados, depois dois polígonos regulares de 24 lados e dois polígonos regulares de 48 lados. Finalmente, Arquimedes calculou a circunferência de um polígono regular de 96 lados dentro de seu círculo e um polígono regular de 96 lados fora de seu círculo.

Um polígono regular de 96 lados tem a mesma aparência de um círculo, a menos que você aumente o zoom com alta ampliação.

Isso é um polígono ou um círculo?

Acima está um polígono de 90 lados. Ele tem menos lados do que o polígono de 96 lados que Arquimedes usou para seu cálculo. Usando o polígono com 96 lados, Arquimedes descobriu que π era maior do que a fracção ²⁵³⁴⁴ / ₈₀₆₉ , e menos do que a fracção ²⁹³⁷⁶ / ₉₃₄₇ .

Para o mundo em geral, ele simplificou estes números, perder uma pequena quantidade de precisão para dizer π era maior do que 3 ¹⁰ / ₇₁ e menor do que 3 ¹ / ₇ . Se calcularmos a média dos melhores limites superior e inferior de Arquimedes para π, obtemos que seja 3,141868115 com nove casas decimais. O valor de Arquimedes de π difere do valor da sua calculadora em menos de 1 parte em 10.000.

Na verdade, o valor de Archimedes de π, de 3 ¹ / ₇ (isto é muitas vezes escrito como ^{22 de} / ₇ ) foi amplamente utilizado até que ele entrou em uma aposentadoria graciosa em nossa era digital. Lembre-se de que Arquimedes não fez medições para seus cálculos. Eles nunca poderiam ter sido precisos o suficiente. Ele usou o poder da mente pura para calcular as áreas envolvidas em cada situação.

Trabalhos matemáticos

Embora seja popularmente mais conhecido como um inventor de dispositivos mecânicos, Arquimedes também fez importantes contribuições para o campo da matemática. Plutarco escreveu: “Ele colocou todo o seu afeto e ambição nessas especulações puras onde não há referência às necessidades vulgares da vida.”

Arquimedes foi capaz de usar infinitesimais de uma maneira que é semelhante ao moderno cálculo integral, e frequentemente diz-se que é muito provável que se os gregos antigos possuíssem uma notação matemática mais apropriada (tais como um sistema numérico posicional e notação algébrica), ele teria inventado o cálculo. Através de provas por contradição (reductio ad absurdum), ele encontrou respostas aproximadas para problemas diversos, especificando os limites entre os quais se encontrava a resposta correta. Esta técnica é conhecida como o método da exaustão, e ele empregou-o para aproximar o valor de π (pi).

Em Sobre a Esfera e o Cilindro, além dos resultados principais, Arquimedes postulou que qualquer grandeza quando adicionada a ela mesma suficientes vezes excederá qualquer grandeza dada. Este é o axioma de Arquimedes dos números reais. Um dos lemas utilizados por Arquimedes em seu resultado sobre a área da superfície esférica é agora visto como um caso especial do teorema de Duistermaat-Heckman em geometria simplética (descoberto dois milênios após Arquimedes).

Em Sobre as Medidas do Círculo, Arquimedes informa o valor da raiz quadrada de 3 como estando entre ²⁶⁵⁄₁₅₃ (aproximadamente 1,7320261) e ¹³⁵¹⁄₇₈₀ (aproximadamente 1,7320512). O valor real é de aproximadamente 1,7320508, portanto foi uma estimativa muito precisa.

Historiadores fizeram muitas hipóteses sobre qual método ele poderia ter usado para chegar neste resultado, dentre elas: um possível conhecimento de frações continuadas, uma variante do método de Diofanto, e até mesmo tentativa e erro, no entanto o tema permanece controverso.

Arquimedes apresentou o resultado sem dar qualquer explicação sobre o método utilizado para obtê-lo. Este aspecto da obra de Arquimedes fez John Wallis comentar que ele estava: “…como se houvesse um firme propósito de encobrir os passos de sua investigação, como se ele negasse à posteridade o segredo de seu método de investigação ao mesmo tempo que desejava extrair dela o consentimento com os seus resultados.”

Em A Quadratura da Parábola, Arquimedes provou que a área delimitada por uma parábola e uma linha reta é ⁴⁄₃ vezes a área do triângulo inscrito correspondente, como mostrado na figura à direita. Ele expressou a solução do problema como uma série geométrica infinita com a razão comum de ¹⁄₄:

Se o primeiro termo desta série é a área do triângulo, então o segundo é a soma das áreas de dois triângulos cujas bases são as duas linhas secantes menores, e assim por diante. Esta prova utiliza uma variação da série 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + · · · cujo resultado é ¹⁄₃.

Em O Contador de Areia, Arquimedes se dispôs a calcular o número de grãos de areia que o universo poderia conter. Ao fazê-lo, desafiou a ideia de que o número de grãos de areia era grande demais para ser contado. Ele escreveu: “Existem alguns, Rei Gelão (Gelão II, filho de Hierão II), que pensam que o número de grãos de areia é infinito em multitude; e eu me refiro a areia não só a que existe em Siracusa e no resto da Sicília, mas também a que é encontrada em qualquer região, seja habitada ou inabitada.”

Para resolver o problema, Arquimedes teve que estimar o tamanho do universo de acordo com o modelo então vigente, e inventar uma maneira de falar a respeito de números extremamente grandes. Ele inventou uma forma de escrever números baseada na miríade. A palavra corresponde a palavra grega μυριάς myriás, para o número 10 000. Propôs um sistema em que se utilizava uma potência de uma miríada elevada a um miríada (100 milhões) e concluiu que o número de grãos de areia necessários para preencher o universo seria 8 vigintilhões, isto é, 8×10⁶³.

Escritos

As obras de Arquimedes foram escritas em grego dórico, o dialeto falado na antiga Siracusa. As obras escritas de Arquimedes não foram conservadas tão bem quanto as de Euclides, e sabe-se da existência de sete de seus tratados apenas através de referências feitas a eles por outros autores. Papo de Alexandria menciona Sobre a Construção de Esferas e outro trabalho sobre poliedros (ver poliedros de Arquimedes), ao passo que Téon de Alexandria cita uma observação sobre a refração proveniente do agora perdido Catoptrica.

Durante sua vida, Arquimedes tornou seu trabalho conhecido através de correspondências mantidas com matemáticos de Alexandria. Os escritos de Arquimedes foram coletados pelo arquiteto bizantino Isidoro de Mileto (c. 530 d.C.), ao passo que comentários escritos no século VI d.C. por Eutócio a respeito dos trabalhos de Arquimedes ajudaram a difundir seu trabalho a um público mais amplo. O trabalho de Arquimedes foi traduzido para o árabe por Thābit ibn Qurra (836–901 d.C.), e para o latim por Gerardo de Cremona (c. 1114–1187 d.C.).

Durante o Renascimento, em 1544, o Editio Princeps (Primeira Edição) foi publicado em Basileia por Johann Herwagen, com as obras de Arquimedes em grego e latim. Por volta do ano 1586 Galileu Galilei inventou uma balança hidrostática para a pesagem de metais no ar e na água, aparentemente inspirado no trabalho de Arquimedes.

Obras sobreviventes

Sobre o Equilíbrio dos Planos (dois volumes)

No primeiro livro constam sete postulados e quinze proposições, já no segundo livro constam dez proposições. Neste trabalho Arquimedes explica a lei da alavanca, afirmando, “As magnitudes estão em equilíbrio a distâncias inversamente proporcionais a seus pesos.”

Arquimedes usa os princípios derivados para calcular as áreas e os centros de gravidade de várias figuras geométricas, incluindo triângulos, paralelogramos e parábolas.

Sobre as Medidas do Círculo

Trata-se de uma obra curta que consiste de apenas três proposições. Está escrita na forma de uma correspondência com Dositeu de Pelúsio, um aluno de Conon de Samos. Na Proposição II, Arquimedes mostra que o valor de π (pi) é maior que ²²³⁄₇₁ e menor que ²²⁄₇. Este último valor foi usado como uma aproximação de π ao longo da Idade Média e ainda é usado quando um valor aproximado de π é suficiente.

O método de retificação da circunferência é uma aplicação direta da segunda proposição, na qual o diâmetro é dividido em sete partes iguais e o comprimento da circunferência é aproximadamente igual a vinte e duas dessas partes.

Sobre as Espirais

Neste trabalho constam 28 proposições. Também é destinado a Dositeu. O tratado define o que atualmente chama-se de espiral de Arquimedes. É o conjunto dos pontos correspondentes às posições de um ponto que se move a velocidade constante sobre uma reta que gira a velocidade angular constante sobre um ponto de origem fixo. Equivalentemente, em coordenadas polares (r, θ) pode ser descrita pela equação

com a e b números reais. Este é um dos primeiros exemplos de uma curva mecânica (uma curva traçada por um ponto em movimento).

Sobre a Esfera e o Cilindro (dois volumes)

Neste tratado endereçado a Dositeu, Arquimedes obtém o resultado pelo qual ele mais se orgulhava, nomeadamente a relação entre uma esfera e um cilindro circunscrito de mesma altura e diâmetro. O volume é ⁴⁄₃πr³ para a esfera, e 2πr³ para o cilindro. A área superficial é 4πr² para a esfera, e 6πr² para o cilindro (incluindo suas duas bases), onde r é o raio da esfera e do cilindro. A esfera tem um volume que é dois terços do volume do cilindro circunscrito. De forma similar, a esfera tem uma área que é dois terços da área do cilindro circunscrito (incluindo as bases). A pedido do próprio Arquimedes, foram colocadas sobre sua tumba esculturas destas duas figuras geométricas.

Sobre Conoides e Esferoides

Neste trabalho destinado a Dositeu constam 32 proposições. Nesse tratado Arquimedes calcula as áreas e volumes das seções de cones, esferas, e paraboloides.

Sobre os Corpos Flutuantes (dois volumes)

Na primeira parte deste tratado, Arquimedes enuncia a lei dos fluidos em equilíbrio, e prova que a água adota uma forma esférica ao redor de um centro de gravidade. Isto pode ter sido uma tentativa de explicar a teoria de astrônomos gregos contemporâneos, como Erastótenes de que a Terra é redonda. Os fluidos descritos por Arquimedes não são auto-gravitacionais, uma vez que ele assume a existência de um ponto para o qual todas as coisas caem, a fim de obter a forma esférica.

Na segunda parte, ele calcula as posições de equilíbrio de seções de paraboloides. Isto foi provavelmente uma idealização das formas dos cascos dos navios.

O princípio de Arquimedes da flutuabilidade aparece nesta obra, enunciado da seguinte forma: Qualquer corpo total ou parcialmente imerso em um fluido experimenta uma força para cima igual, mas em sentido oposto, ao peso do fluido deslocado.

Este princípio explica porque os barcos flutuam e também permite determinar a porcentagem que fica acima da água quando um objeto flutua em um líquido, como, por exemplo, gelo flutuando em água líquida.

A Quadratura da Parábola

Neste trabalho destinado a Dositeu constam 24 proposições, Arquimedes prova através de dois métodos que a área delimitada por uma parábola e uma linha reta é 4/3 multiplicado pela área de um triângulo com a mesma base e a mesma altura. Ele alcança este resultado calculando o valor de uma série geométrica de infinitos termos com a razão ¹⁄₄.

Stomachion

Este é um quebra-cabeças de corte e montagem similar a um tangram, e o tratado descrevendo-o foi encontrado em forma mais completa no Palimpsesto de Arquimedes.

Arquimedes calculou as áreas de 14 peças que podiam ser reunidas para formar um quadrado. Uma pesquisa publicada em 2003 por Reviel Netz da Universidade de Stanford, argumentou que Arquimedes estava tentando determinar de quantas maneiras as peças podiam ser reunidas na forma de um quadrado. Netz calculou que as peças podiam formar uma quadrado de 17.152 maneiras. O número de disposições é reduzido a 536 quando se exclui as soluções que são equivalentes por rotação e reflexão. O quebra-cabeças representa um exemplo de problema de combinatória antigo.

A origem do nome do puzzle não é clara, e foi sugerido que provém da palavra da língua grega antiga para a garganta ou esôfago, stómakhos (στόμαχος). Ausônio refere-se ao puzzle como Ostomachion, uma palavra grega composta formada pelas raízes de ὀστέον (osteon, osso) e μάχη (machē – luta). O puzzle também é conhecido como Loculus de Arquimedes ou como Caixa de Arquimedes.

O Problema Bovino

Esta obra foi descoberta em 1773 por Gotthold Ephraim Lessing em um manuscrito grego consistido de um poema de 44 linhas, na Biblioteca Herzog August, na Alemanha. É destinado a Erastótenes e aos matemáticos de Alexandria.

Arquimedes desafia-os a contar o número de bovinos no rebanho do Sol resolvendo uma quantidade de equações diofantinas simultâneas. Há uma versão mais difícil do problema em que algumas das respostas têm que ser números quadrados. Esta versão do problema foi resolvida pela primeira vez por A. Amthor em 1880, e a resposta é um número bastante grande, aproximadamente 7,760271×10²⁰⁶⁵⁴⁴.

O Contador de Areia

Neste tratado, Arquimedes calcula o número de grãos de areia que caberiam no universo. Este livro menciona a teoria heliocêntrica do Sistema Solar proposta por Aristarco de Samos, como também ideias contemporâneas sobre o tamanho da Terra e a distância entre vários corpos celestes. Usando um sistema de números baseado em potências de miríade, Arquimedes conclui que o número de grãos de areia necessários para preencher o universo é 8×10⁶³ (em notação moderna).

A introdução afirma que o pai de Arquimedes foi um astrônomo chamado Fídias. O Contador de Areia ou Psammites é a única obra sobrevivente de Arquimedes em que ele discute suas ideias sobre astronomia.

O Método dos Teoremas Mecânicos

Este tratado, que se considerava perdido, foi reencontrado graças à descoberta do Palimpsesto de Arquimedes em 1906. Nesta obra, Arquimedes emprega o cálculo infinitesimal, e mostra como o método de fracionar uma figura em um número infinito de partes infinitamente pequenas pode ser usado para calcular sua área e volume.

Arquimedes talvez tenha considerado que este método carecia de suficiente rigor formal, pelo que utilizou também o método da exaustão para chegar aos mesmos resultados. Da mesma forma que O Problema Bovino, O Método dos Teoremas Mecânicos foi escrito em forma de carta dirigida a Eratóstenes de Alexandria.

Conforme Carl Boyer: “Para achar áreas e volumes, o versátil Arquimedes usou sua própria versão primitiva do cálculo integral, que, de alguma maneira, é muito semelhante, quanto ao espírito, ao cálculo atual. Numa carta a Eratóstenes, Arquimedes expôs seu ”método da alavanca” para descobrir fórmulas de áreas e volumes. Mas, quando publicava provas para essas fórmulas, ele utilizava o método de exaustão para se ajustar aos padrões de rigor da época.”

Obras apócrifas

O Livro de Lemas ou Liber Assumptorum é um tratado com quinze proposições sobre a natureza dos círculos. A cópia mais antiga conhecida do texto está escrita em árabe. Os estudiosos Thomas Little Heath e Marshall Clagett argumentaram que ele não pode ter sido escrito por Arquimedes na sua forma atual, uma vez que ele cita Arquimedes, o que sugere que foi modificado por outro autor. Talvez o Lemas seja baseado em um uma obra mais antiga, agora perdida, escrita por Arquimedes.

Também já foi afirmado que Arquimedes conhecia a fórmula de Heron usada para calcular a área de um triângulo sabendo-se as medidas de seus lados. No entanto, a primeira referência confiável para a fórmula é dada por Heron de Alexandria no século I d.C.

O Palimpsesto de Arquimedes

O Palimpsesto de Arquimedes é uma das principais fontes a partir das quais se conhece a obra de Arquimedes. Em 1906, o professor dinamarquês Johan Ludvig Heiberg visitou Constantinopla e examinou um pergaminho de pele de cabra de 174 páginas com orações escritas no século XIII d.C. Ele descobriu que se tratava de um palimpsesto, um documento com texto que tinha sido escrito sobre um trabalho anterior apagado.

Os palimpsestos eram criados pela raspagem da tinta de trabalhos existentes para reutilizar o material no qual ela estava impressa, o que era uma prática comum na Idade Média pois o papel velino era caro. As obras anteriores do palimpsesto foram identificadas por estudiosos como cópias do século X d.C. de tratados de Arquimedes previamente desconhecidos.

O pergaminho passou centenas de anos na biblioteca de um monastério em Constantinopla antes de ser vendido a um colecionador na década de 1920. Em 29 de outubro de 1998 ele foi vendido em um leilão para um comprador anônimo por dois milhões de dólares na casa de leilões Christie’s, em Nova Iorque.

O palimpsesto contém sete tratados, incluindo a única cópia sobrevivente de Sobre os Corpos Flutuantes no original grego. É também a única fonte de O Método dos Teoremas Mecânicos, a que se referiu Téon Suidas e que pensava-se que tinha sido perdido para sempre. Stomachion também foi descoberto no palimpsesto, com uma análise mais completa do quebra-cabeças do que a que encontrava-se em textos anteriores.

O palimpsesto está agora guardado no Museu de Arte Walters em Baltimore, Estados Unidos, onde foi submetido a uma série de testes modernos incluindo o uso de luz ultravioleta e raios X para ler o texto sobrescrito.

Os tratados contidos no Palimpsesto de Arquimedes são: Sobre o Equilíbrio dos Planos, Sobre as Espirais, Sobre as Medidas do Círculo, Sobre a Esfera e o Cilindro, Sobre os Corpos Flutuantes, O Método dos Teoremas Mecânicos e Stomachion.

Morte e Legado

Arquimedes morreu durante a conquista de Siracusa em 212 aC, quando foi morto por um soldado romano. Ele foi enterrado em uma tumba na qual foi esculpida uma esfera dentro de um cilindro. Esse era o seu desejo, porque ele acreditava que sua maior conquista era encontrar a fórmula para o volume de uma esfera.

Muitos anos depois, Cícero, o governador romano da Sicília, foi procurar a tumba de Arquimedes. Ele descobriu que havia ficado coberto de ervas daninhas e arbustos, que ele ordenou que fossem limpos.

Hoje não sabemos onde fica a tumba de Arquimedes – está perdida, provavelmente para sempre. Grande parte de seu trabalho também se perdeu para sempre, mas o que sabemos dele nos deixa admirados por suas realizações.

Mais de 300 anos após a morte de Arquimedes, o historiador grego Plutarco disse sobre ele:

“Ele colocou todo seu carinho e ambição nessas especulações mais puras, onde não pode haver referência às necessidades vulgares da vida”.

Arquimedes era um grande cientista prático, mas, acima de tudo, cumpria o espírito grego de realizar pesquisas sobre o céu azul. Ele trabalhou em problemas matemáticos em benefício da própria matemática, não para resolver problemas práticos. Curiosamente, todas as suas descobertas em matemática acabaram sendo úteis tanto na prática quanto na matemática.

Em seu túmulo, além da esfera no cilindro, seu nome estava escrito em grego:

ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ

Algumas personagens importantes

• Arquimedes viveu na Grécia Antiga. Ele nasceu em cerca de 287 aC e morreu em 212 aC.
• Demócrito viveu na Grécia Antiga. Ele nasceu em cerca de 460 aC e morreu em cerca de 370 aC.
• Eratóstenes viveu na Grécia Antiga. Ele nasceu em cerca de 276 aC e morreu em cerca de 194 aC.
• Cícero viveu no Império Romano. Ele nasceu em 3 de janeiro de 106 aC e morreu em 7 de dezembro de 43 aC.
• Leonardo da Vinci viveu na Itália. Ele nasceu em 15 de abril de 1452 e morreu em 2 de maio de 1519.
• Galileu Galilei viveu na Itália. Ele nasceu em 15 de fevereiro de 1564 e morreu em 8 de janeiro de 1642.
• Isaac Newton viveu na Inglaterra. Ele nasceu em 25 de dezembro de 1642 e morreu em 20 de março de 1727.
• Albert Einstein viveu na Suíça, Alemanha e América. Ele nasceu em 14 de março de 1879 e morreu em 18 de abril de 1955.

Fontes:

• Boyer, Carl Benjamin (1991). A History of Mathematics. Nova Iorque: Wiley. ISBN 0-471-54397-7
• Famousscientists
• Wikipedia

Obras de Arquimedes online

• Text in Classical Greek: PDF scans of Heiberg’s edition of the Works of Archimedes, now in the public domain
• In English translation: The Works of Archimedes, trans. T.L. Heath; supplemented by The Method of Mechanical Theorems, trans. L.G. Robinson